Oligopol — Cournotův a Stackelbergův model

TL;DR

Oligopol je tržní struktura s malým počtem firem, jejichž rozhodnutí jsou strategicky závislá — každá firma musí explicitně počítat s reakcí konkurentů, protože její vlastní volba množství nebo ceny mění tržní výsledek pro všechny. Tím se oligopol zásadně liší od dokonalé konkurence (kde je firma cenovým příjemcem), monopolu (kde firma žádnou konkurenci nemá) a monopolistické konkurence (kde je firem tolik, že individuální reakce zanedbáváme).

Dva základní modely množstevní konkurence v duopolu:

• Cournotův model (1838): firmy si volí výstup $Q_1$ a $Q_2$ simultánně; každá při svém rozhodování považuje výstup konkurenta za fixní. Z první podmínky maximalizace zisku vyplývají reakční křivky, jejichž průsečík je Cournot-Nashova rovnováha.
• Stackelbergův model: rozhodování je sekvenční. Lider volí $Q_1$ jako první a ví, že follower zareaguje podle své Cournotovy reakční křivky. Lider si tuto reakci dosadí do svého TR a maximalizuje. Dostává first-mover advantage — vyrábí dvojnásobek followera a má dvojnásobný zisk.

Pro symetrický příklad $P = 30 - Q$, $MC_1 = MC_2 = 0$:

Pro firmy platí pořadí výhodnosti koluze > Stackelberg-lider > Cournot > Stackelberg-follower > Bertrand. Pro spotřebitele přesně naopak: Bertrand > Stackelberg > Cournot > koluze, protože s vyšším $Q$ klesá $P$.

Detailní srovnávací tabulka pro obecné $P = a - bQ$, $MC = 0$ je v sekci Srovnávací tabulka.

1. Definice oligopolu

1.1 Charakteristika

Oligopol je tržní struktura s těmito znaky:

• Malý počet firem — typicky 2 až ~10 hráčů. Pro $n=2$ mluvíme o duopolu. S rostoucím $n$ se oligopol blíží monopolistické konkurenci (kdy je firem tolik, že vzájemnou reakci přestává mít smysl modelovat).
• Diferenciace produktu existuje, ale není příliš velká. Typicky jsou produkty blízké substituty, někdy přímo homogenní (komodity — ocel, cement, ropa).
• Může jít i o homogenní produkt — viz Cournotův a Bertrandův model (předpokládají homogenitu).
• Existují bariéry vstupu — bez nich by se nadprůměrné zisky brzy rozplynuly tlakem nově vstupujících firem.

1.2 Bariéry vstupu

Standardní seznam:

• Přirozené bariéry — úspory z rozsahu (scale economies). Pokud minimální efektivní velikost závodu je velký zlomek tržní poptávky, na trh se vejde jen několik firem. Klasický příklad: výroba dopravních letadel (Boeing, Airbus), železnice, energetika.
• Patenty. Farmaceutické firmy chrání molekuly desítky let, technologické firmy klíčové vynálezy. Konkurence vstoupit nesmí, dokud patent nevyprší.
• Speciální technologie / know-how. Některé výrobní procesy se nedají jednoduše replikovat — TSMC v polovodičích, ASML v litografických strojích.
• Síla značky / dobré jméno. Coca-Cola, Apple, BMW — i kdyby konkurent vyráběl identický produkt, prémiovou cenu by neuhrál.
• Síťové efekty. Sociální sítě, platební systémy, marketplace — hodnota produktu pro uživatele roste s počtem ostatních uživatelů. Nový hráč nemá jak doběhnout.

V oligopolu se kombinují vícero bariér současně. Telekomunikace v ČR (3 hlavní mobilní operátoři) jsou kombinací úspor z rozsahu, regulovaného přístupu ke spektru a zákaznických nákladů na přechod.

2. Strategická interdependence

2.1 Klíčový rozdíl od ostatních tržních struktur

Klíčové pravidlo:

V dokonalé konkurenci, monopolu a monopolistické konkurenci producenti nepředpokládají žádnou reakci ostatních firem ohledně výstupu a ceny.

V oligopolu firmy musí zohlednit reakce konkurentů při volbě výstupu a ceny.

V dokonalé konkurenci je firma cenový příjemce — její individuální výstup je nulový zlomek trhu, takže její rozhodnutí cenu nemění a o reakci ostatních nemusí přemýšlet. Monopol naopak žádnou konkurenci nemá. V monopolistické konkurenci je firem tolik, že efekt jejich vzájemné reakce je zanedbatelný (každá vystupuje přibližně jako monopolista na své „diferencované niche").

V oligopolu je situace fundamentálně jiná. Pokud firma zvýší výstup, sníží to tržní cenu znatelně, a tedy ovlivní zisky konkurentů. Konkurent na to bude chtít zareagovat. Při volbě svého výstupu tedy musíme zohlednit, jak konkurent zareaguje — a nevyhnutelně se dostáváme k teorii her a Nashově rovnováze.

2.2 Nashova rovnováha

Definice:

Nashova rovnováha je stav, kdy žádný z hráčů nemůže jednostranným krokem zlepšit svoji situaci.

Operativní formulace:

Firmy dělají to nejlepší co mohou a nemají žádný důvod pro změnu výstupu nebo ceny. Všechny firmy předpokládají, že všichni zúčastnění zohledňují chování konkurentů do svých rozhodnutí.

A slavný citát z filmu A Beautiful Mind:

„Individuální ambice? Ano — jsou bezesporu nutné. Dělejme však to, co je nejlepší pro nás jako jednotlivce, a zároveň nechť je naše počínání v co možná největším souladu s potřebami kolektivu."

Nashova rovnováha je matematická formalizace takové situace: každý hráč hraje nejlepší odpověď ($best\,response$) na strategie ostatních. Pokud by někdo mohl jednostrannou změnou své strategie získat víc, nebyli bychom v rovnováze.

V Cournotově duopolu hraje firma 1 nejlepší odpověď na $Q_2$ (a naopak). Tato nejlepší odpověď se zobrazí jako reakční křivka. Cournotova rovnováha je průsečík obou reakčních křivek — místo, kde každá firma hraje nejlepší odpověď na to, co druhá skutečně dělá.

Pro Stackelberga je Nashův koncept rozšířen — hovoříme o subgame perfect Nash equilibrium. Lider očekává, že follower zahraje nejlepší odpověď v podhře po $Q_1$, a optimalizuje svůj $Q_1$ s touto reakční křivkou v hlavě.

Viz též podrobněji Vězňovo dilema a teorie her.

3. Cournotův model

3.1 Předpoklady

Autorem je francouzský matematik Antoine Augustin Cournot (1838 — Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses). Jde o jeden z prvních formálních modelů strategické konkurence vůbec.

Předpoklady modelu:

1. Duopol — dvě firmy. (Model lze zobecnit na $n$ firem; zde řešíme $n=2$.)
2. Homogenní produkt — výrobky obou firem jsou dokonalé substituty; spotřebitel kupuje od kohokoli za nižší cenu, ale na trhu se ustaví jediná tržní cena.
3. Konkurence přes množství $Q$ — strategickou proměnnou je výstup, ne cena. (Pokud by konkurence šla přes cenu, dostali bychom Bertrandův model.)
4. Stejně silné firmy — symetrický případ; budeme uvažovat shodné mezní náklady. Asymetrický Cournot s různými $MC$ je v sekci 6.
5. Lineární tržní poptávka $P = a - bQ$, kde $Q = Q_1 + Q_2$.
6. Obě firmy maximalizují zisk.
7. Simultánní rozhodnutí — žádná firma neví, co konkurent zvolí, a obě se rozhodují najednou.
8. Každá firma považuje výstup konkurenta za fixní — při svém rozhodování bere $Q_2$ (resp. $Q_1$) jako parametr, ne jako reakci.

Tento osmý bod je kontroverzní: v rovnováze totiž obě firmy správně odhadnou výstup konkurenta, ale během derivace optimální podmínky ho považují za nezávislé na vlastní volbě — jako kdyby Q₂ bylo jen číslo. Stackelberg tento předpoklad upouští u lidera.

3.2 Intuice — posuny poptávky firmy 1

Nejdřív získáme intuici, jak optimální $Q_1$ závisí na $Q_2$:

• Pokud $Q_2 = 0$: firma 1 čelí celé tržní poptávce $D_1(0) =$ tržní poptávka. Chová se jako monopolista. Pro $P = 30 - Q$, $MC = 0$ je monopolní výstup $Q_1 = 15$.
• Pokud $Q_2 = 50$: poptávka, kterou vidí firma 1, se posouvá doleva o 50 jednotek (každá cena platí pro $Q_1 =$ tržní $Q$ minus 50). Firma 1 tedy dostane $D_1(50)$ a optimalizuje proti ní. Optimum je nižší — řekněme $Q_1 = 25$.
• Pokud $Q_2 = 75$: ještě další posun doleva. Firma 1 vyrábí ještě méně, $Q_1 = 12{,}5$.
• Pokud $Q_2 = 100$: poptávka pro firmu 1 je už tak nízko, že její optimum je $Q_1 = 0$ — zachycení trhu by si nevyplatilo.

Mapováním všech těchto bodů $(Q_2, Q_1^*)$ získáme reakční křivku firmy 1: funkci $Q_1 = R_1(Q_2)$, která říká, kolik firma 1 vyrobí jako nejlepší odpověď, pokud bere $Q_2$ jako dané.

3.3 Reakční křivka — formální odvození

Tržní poptávka: $P = 30 - Q_1 - Q_2$.

Total Revenue firmy 1:

Marginal Revenue firmy 1 (parciální derivace podle $Q_1$, při fixním $Q_2$):

Podmínka maximalizace zisku (mezní příjem rovný mezním nákladům, $MC_1 = 0$):

To je reakční křivka firmy 1:

Symetricky pro firmu 2:

Interpretace: Když konkurent nevyrábí ($Q_2 = 0$), firma 1 jede jako monopolista a vyrábí $Q_1 = 15$. Každá jednotka navíc, kterou konkurent vyrobí, sníží optimální $Q_1$ o ½ jednotky. Když konkurent zaplaví trh ($Q_2 = 30$), firma 1 nedělá nic.

3.4 Cournotova rovnováha — průsečík

Rovnováha je bod, kde obě reakční křivky jsou splněny současně:

Dosadíme druhou rovnici do první:

Symetrií $Q_2 = 10$. Celkový tržní výstup $Q = 20$, cena:

Zisky:

Celkem $\sum \pi = 200$.

3.5 Geometrie reakčních křivek

V rovině $Q_1 \times Q_2$:

• Reakční křivka firmy 1 je přímka klesající z $(Q_2, Q_1) = (0, 15)$ do $(30, 0)$. Sklon $-\tfrac{1}{2}$ (po vyjádření $Q_1$ jako funkce $Q_2$).
• Reakční křivka firmy 2 je přímka klesající z $(Q_1, Q_2) = (0, 15)$ do $(30, 0)$, ale „čtena" pod úhlem 90° — v rovině $(Q_1, Q_2)$ jí odpovídá přímka $Q_2 = 15 - \tfrac{1}{2} Q_1$, tedy klesající z $(0, 15)$ do $(30, 0)$ sklonem $-\tfrac{1}{2}$.

Obě se protínají v bodě $(10, 10)$ — Cournotova rovnováha.

3.6 Stabilita rovnováhy a tâtonnement

Klademe dvě otázky:

1. Jestliže firma neprodukuje v rovnováze, bude se firma snažit rovnováhy dosáhnout? — Ano. Jakákoli volba mimo reakční křivku znamená, že firma nemaximalizuje zisk při daném $Q_2$. Jednostranná korekce ji k vyššímu zisku přivede. Pokud se obě firmy postupně přizpůsobují (firma 1 nejdřív nastaví $Q_1 = R_1(Q_2)$, pak firma 2 odpoví $Q_2' = R_2(Q_1)$ atd.), iterace konverguje k Cournotově rovnováze.
2. Je vůbec racionální, že se výstup konkurenta předpokládá fixní? — Striktně vzato ne. V rovnováze je předpoklad správný (konkurent skutečně fixně drží svůj $Q_2^*$), ale při derivaci firma ignoruje, že změna jejího $Q_1$ by konkurenta vlastně vyprovokovala k revizi. To je Cournotův „zjednodušující předpoklad" a Stackelbergův model jej u lidera opouští. Modernější přístupy (modely s conjectured variations) zavádějí parametr, jak moc firma očekává reakci konkurenta — Cournot je pak speciální případ s nulovou domnělou variací.

Viz též Bertrandův model pro analogickou diskusi v cenové variantě.

4. Koluze (sdílený monopol)

4.1 Maximalizace společného zisku

Pokud se firmy domluví a chovají se jako jeden monopolista, maximalizují celkový zisk $\pi_1 + \pi_2$ vůči celkovému $Q = Q_1 + Q_2$. Tržní poptávka zůstává $P = 30 - Q$, mezní náklady jsou $MC = 0$.

Optimum:

Cena $P = 30 - 15 = 15$, celkový zisk $\pi = 15 \cdot 15 = 225$.

4.2 Křivka kontraktu

Otázka, jak rozdělit $Q = 15$ mezi dvě firmy, není určena maximalizací zisku. Všechny kombinace $(Q_1, Q_2)$ s $Q_1 + Q_2 = 15$ dávají stejný celkový zisk. Tato přímka v $(Q_1, Q_2)$ rovině se nazývá křivka kontraktu. Nejčastější volba je rovnoměrné rozdělení $Q_1 = Q_2 = 7{,}5$, $\pi_1 = \pi_2 = 112{,}5$.

Pro firmy je koluze lepší než Cournot ($112{,}5 > 100$) — proto vznikají kartely. Problém je nestabilita: pokud firma 1 dodrží $Q_1 = 7{,}5$, má firma 2 silnou motivaci podvádět. Z reakční křivky $Q_2 = R_2(7{,}5) = 15 - 3{,}75 = 11{,}25$, tedy firma 2 by jednostranným zvýšením na $11{,}25$ získala vyšší okamžitý zisk. Antimonopolní legislativa (kartelové dohody jsou v EU i ČR zakázané) i nestabilní pobídky drží reálné kartely při zemi — viz Kartely a cenové vůdcovství.

4.3 Srovnání 4 modelů v rovině $Q_1 \times Q_2$

V grafu $(Q_1, Q_2)$ leží:

• Bod koluze $(7{,}5;\,7{,}5)$ — na křivce kontraktu, uvnitř obou reakčních křivek (každá firma by samostatně chtěla vyrobit víc).
• Cournot equilibrium $(10;\,10)$ — průsečík reakčních křivek.
• Bertrand / dokonalá konkurence $(15;\,15)$ — bod, kde $P = MC = 0$ a $\pi = 0$. (Tento bod není rovnováhou žádného z dosud popsaných modelů v duopolu s množstevní konkurencí, ale je referencí pro extrém — odpovídá ceně rovné MC.)

Pro firmu je nejvýhodnější koluze, potom Cournot a nakonec dokonalá konkurence.

Pro spotřebitele je hierarchie obrácená.

5. Stackelbergův model (sekvenční konkurence)

5.1 Předpoklady

Heinrich von Stackelberg (1934) modifikoval Cournotův model jednou změnou: rozhodování není simultánní, ale sekvenční.

• Firma 1 (lider) zvolí svůj výstup $Q_1$ jako první.
• Firma 2 (follower) výstup pozoruje a teprve potom volí $Q_2$.
• Mezní náklady jsou stále $MC_1 = MC_2 = 0$ a poptávka $P = 30 - Q$.

Z toho plyne klíčový rozdíl od Cournota: firma 2 nedělá předpoklad o nějakém fixním $Q_1$ — ona ho vidí. A firma 1 ví, že firma 2 ho uvidí, takže si musí domyslet, jak firma 2 zareaguje.

5.2 Followerova úvaha

Firma 2 stojí přesně před Cournotovým problémem: $Q_1$ je daný (teď opravdu fixní, protože už byl zvolen). Firma 2 maximalizuje svůj zisk vůči $Q_1$ — to je Cournotova reakční křivka firmy 2:

5.3 Liderova úvaha

Firma 1 ví, jak firma 2 zareaguje, a tuto reakci dosadí do svého TR. Místo aby brala $Q_2$ jako parametr (jak by udělal Cournotův hráč), vidí ji jako funkci $Q_2 = 15 - \tfrac{1}{2} Q_1$ své vlastní volby.

Dosaďme followerovu reakci:

Mezní příjem:

Optimum:

Reakce followera:

Tržní výstup a cena:

Zisky:

5.4 Shrnutí — first-mover advantage

Stackelbergova rovnováha:

Výstup firmy 1 je dvakrát větší než firmy 2. Zisk firmy 1 je dvakrát větší než firmy 2.

A to jsou klíčové numerické výsledky, na kterých se pozná Stackelberg ze zadání zkoušky:

• $Q_1 / Q_2 = 2$.
• $\pi_1 / \pi_2 = 2$.
• $Q_1 =$ monopolnímu výstupu (15 = $a/(2b)$). To není náhoda: lider se fakticky chová jako monopolista, ale s upravenou poptávkovou funkcí, která zohledňuje, že follower „ukrojí" půl jeho marginální jednotky.

5.5 Otázky k zamyšlení

Proč je výhodnější moci reagovat?

Intuice říká, že informace navíc je vždy lepší — follower přece reaguje na známý $Q_1$, což zní jako výhoda. Ale paradoxně to výhoda není. First-mover advantage znamená, že lider svým rozhodnutím omezuje prostor followera. Lider ví, že vyrobí-li hodně, follower bude muset omezit svůj výstup (jinak by si zhroutil cenu pod své MC). Lider tedy commitne vysoký výstup a follower se musí přizpůsobit.

V Stackelbergu je $Q_1 = 15$ (více než cournotových 10), což followera „odežene" na $Q_2 = 7{,}5$ (méně než cournotových 10). Lider získává tu část zisku, kterou by si jinak follower vzal v Cournotu.

Který model je realističtější?

Záleží na trhu:

• Cournot je vhodný pro trhy, kde se rozhodování opravdu děje simultánně — typicky homogenní komodity, dlouhý plánovací cyklus, vysoký fixní investiční horizont. Příklady: zemědělství (osevní plán na sezonu), ropa (OPEC kvóty), těžební průmysl.
• Stackelberg je vhodný pro trhy s jasným tržním lídrem, který rozhoduje první a ostatní reagují. Příklady: Microsoft v 90. letech (operační systém Windows určuje pravidla, ostatní se přizpůsobí), Google v internetovém vyhledávání, Apple v segmentu prémiových smartphonů (uvádí novou generaci a Samsung reaguje).

V realitě bývá interakce mnohem komplexnější — opakované hraní, nedokonalá informace, dynamická vstupní hra. Cournot a Stackelberg jsou referenční benchmarky, ne přesné popisy.

6. Asymetrický Cournot s rostoucími MC

Varianta duopolu se dvěma různými nákladovými funkcemi:

• Tržní poptávka: $P = 100 - Q$, kde $Q = Q_1 + Q_2$.
• Firma 1: $MC_1 = 4$ (konstantní, levná technologie).
• Firma 2: $MC_2 = Q_2$ (lineárně rostoucí — výrobní omezení, nedostatek kapacity).

6.1 Heuristika — analogie s vícezávodním monopolem

Ve standardní (symetrické) Cournotově analýze bychom psali dvě reakční křivky a hledali jejich průsečík. Tady se ale využije šikovnější trik:

Pravidlo: při $n$ závodech monopolisty platí $MC_1 = MC_2 = \ldots = MC_n = MR$.

Stejná logika platí, pokud chceme najít, jak by se dvě „firmy" s různými nákladovými funkcemi rozdělily o monopolní zisk: každá vyrábí do bodu, kde se její $MC$ vyrovná se společným mezním příjmem $MR$ na celkovém výstupu.

Tato úloha v originále využívá heuristiku Cournotovy rovnováhy přes podmínku $MC_1 = MC_2$ (každá firma vyrovnává své MC se společným MR — viz též Monopol s více závody).

6.2 Výpočet

Mezní příjem na celkovém $Q$:

Z podmínky $MC_1 = MR$ pro firmu 1 (s konstantní $MC_1 = 4$):

Cena:

Rozdělení mezi firmy: musí platit $MC_2 = 4$ (vyrovnáno se společným MR prostřednictvím $MC_1$). Z $MC_2 = Q_2$ tedy $Q_2 = 4$.

A z $Q_1 + Q_2 = 48$ dostaneme $Q_1 = 44$.

6.3 Intuice

Firma 1 má levnou (a konstantní) technologii — vyrábí převážnou část trhu. Firma 2 má rostoucí MC, takže by velký výstup byl pro ni katastrofálně drahý. Firma 2 dotáhne výrobu jen do bodu, kde její $MC_2$ doběhne $MC_1$ — pak už by každá další jednotka stála firmu 2 víc, než ji prodá. Levný producent „dotuje" trh, drahý jen doplňuje.

Tato úloha krásně ilustruje, že Cournotova rovnováha s heterogenními MC přerozdělí trh ve prospěch nákladově efektivnější firmy. V symetrické verzi by si firmy trh podělily 50/50, tady to vychází 92 % vs. 8 %.

Pozn.: V některých variantách interpretace by se rozdělení dělalo přes klasické reakční křivky $Q_i = (a - MC_i - Q_j)/(2b)$, ale řešení v testovém přepisu používá heuristiku přes $MC_1 = MC_2 = MR$ (jako u monopolisty s více závody). Obě cesty mají v této úloze totožný výsledek díky tomu, že rostoucí $MC_2$ poskytuje řešení automaticky.

7. Srovnávací tabulka 4 modelů

7.1 Pro $P = a - bQ$, $MC = 0$

Obecné výsledky pro lineární poptávku a nulové mezní náklady:

Verifikace pro $a = 30$, $b = 1$:

Vše sedí.

7.2 Odvození jednotlivých řádků

Sdílený monopol (koluze). Maximalizujeme $\pi = (a - bQ) Q$ vůči $Q$:

$P = a - b \cdot \tfrac{a}{2b} = \tfrac{a}{2}$, $\pi = \tfrac{a}{2} \cdot \tfrac{a}{2b} = \tfrac{a^2}{4b}$. Při rovnoměrném rozdělení $Q_1 = Q_2 = \tfrac{a}{4b}$, $\pi_1 = \pi_2 = \tfrac{a^2}{8b}$. ✓

Cournot. Reakční křivky:

Symetrie a dosazení:

Symetrie $Q_2 = \tfrac{a}{3b}$, $Q = \tfrac{2a}{3b}$, $P = a - b \cdot \tfrac{2a}{3b} = \tfrac{a}{3}$. Zisk: $\pi_1 = \tfrac{a}{3} \cdot \tfrac{a}{3b} = \tfrac{a^2}{9b}$. ✓

Bertrand. Cenová konkurence s homogenním produktem a $MC = 0$ tlačí cenu na $P = MC = 0$. Trh se rozdělí rovnoměrně: $Q_1 = Q_2 = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{a}{b} = \tfrac{a}{2b}$, $\pi = 0$. Detaily v Bertrand.

Stackelberg. Lider dosadí followera $Q_2 = \tfrac{a - b Q_1}{2b}$:

$MR_1 = 0 \Rightarrow Q_1 = \tfrac{a}{2b}$. ✓

Follower: $Q_2 = \tfrac{a - b \cdot \tfrac{a}{2b}}{2b} = \tfrac{a/2}{2b} = \tfrac{a}{4b}$. ✓

$Q = \tfrac{a}{2b} + \tfrac{a}{4b} = \tfrac{3a}{4b}$, $P = a - b \cdot \tfrac{3a}{4b} = \tfrac{a}{4}$.

Zisky:

Pozn.: Lider ve Stackelbergu má stejný zisk jako každá firma v koluzi ($\tfrac{a^2}{8b}$). To je krásný ekonomický fakt: lider „ukradne" celý monopolní zisk pro sebe, follower si vezme zbytek (poloviční zisk lídra).

7.3 Pořadí výhodnosti

Ze sociálního hlediska (efektivita, deadweight loss) je nejlepší Bertrand, nejhorší Koluze. Proto antimonopolní úřady cílí kartelové dohody.

8. Stabilita Cournotovy rovnováhy a tâtonnement

8.1 Co se stane mimo rovnováhu

Vezměme bod $(Q_1, Q_2) = (5, 12)$, který není na žádné reakční křivce:

• Firma 1 vidí $Q_2 = 12$. Její optimum: $R_1(12) = 15 - 6 = 9$. Když se přesune na $Q_1 = 9$, ziská $\pi_1 = (30 - 9 - 12) \cdot 9 = 9 \cdot 9 = 81$ místo $(30 - 5 - 12) \cdot 5 = 13 \cdot 5 = 65$. Zlepšení o 16.
• Firma 2 teď vidí $Q_1 = 9$. Její optimum: $R_2(9) = 15 - 4{,}5 = 10{,}5$. Posun z 12 na 10,5: zisk $(30 - 9 - 10{,}5) \cdot 10{,}5 = 10{,}5 \cdot 10{,}5 = 110{,}25$ místo $(30 - 9 - 12) \cdot 12 = 9 \cdot 12 = 108$.
• Firma 1 znovu reaguje: $R_1(10{,}5) = 15 - 5{,}25 = 9{,}75$. ...

Iterace konverguje k Cournotově rovnováze $(10, 10)$. Tomuto procesu se říká Cournotův tâtonnement (z francouzského „tápání"). V realitě k němu nikdy nedojde v takto čisté formě, ale ilustruje stabilitu rovnováhy: i z náhodného počátečního stavu by si firmy nakonec sedly na Nashův bod.

8.2 Existence a jedinečnost rovnováhy

V symetrickém duopolu s lineární poptávkou a konstantními MC:

• Reakční křivky jsou klesající přímky se sklony $-\tfrac{1}{2}$.
• V kladném ortantu se protnou v jediném bodě.
• Tâtonnement konverguje (sklony $|R_i'| = \tfrac{1}{2} < 1$).

Pro nelineární poptávku a/nebo MC může být situace složitější — vícero rovnováh, nestabilita, divergentní iterace. Ekonomická praxe se s těmito patologiemi obvykle nezabývá; učební model je hodný učení právě proto, že chování je jednoznačné.

9. Aplikace v reálných trzích

• Automobilový průmysl. Globální oligopol s klíčovými hráči (Toyota, Volkswagen, Stellantis, GM, Ford, Hyundai-Kia, Honda, BMW, Mercedes, Tesla). Kombinace Cournotovských prvků (kapacita závodů se plánuje předem) a diferenciace (segmenty, značky).
• Telekomunikace v ČR. Tři velcí mobilní operátoři (O2, T-Mobile, Vodafone)
  • virtuálové. Cenové vůdcovství spíš než Cournot — viz Cenové vůdcovství.
• Letecké aerolinky. Na konkrétních trasách často duopol nebo triopol. Stackelbergovské chování — incumbent reaguje na vstup nízkonákladové konkurence.
• OPEC a ropný trh. Klasická koluze prostřednictvím kvót — modelově sdílený monopol. Realita je složitější (Saudská Arábie jako swing producer funguje jako Stackelbergův lider, ostatní jako followeři).
• Cloud computing. AWS, Azure, GCP. Klasický oligopol s vysokými bariérami (úspory z rozsahu, síťové efekty).
• Operační systémy pro PC. Microsoft Windows historicky Stackelbergův lider, Apple a Linux followeři.

10. Cvičení k ověření porozumění

10.1 Symetrický Cournot — jiná čísla

Tržní poptávka $P = 60 - Q$, $MC_1 = MC_2 = 12$.

Spočítejme reakční křivku firmy 1:

Symetrie a průsečík:

$Q_2 = 16$, $Q = 32$, $P = 28$, $\pi_1 = (28 - 12) \cdot 16 = 16 \cdot 16 = 256$.

Pomocí obecných formulí: efektivní $a = 60 - 12 = 48$ (po posunu o MC), $b = 1$: $Q_1 = \tfrac{48}{3} = 16$. ✓

10.2 Stackelberg — jiná čísla

Stejné zadání jako 10.1, ale firma 1 jde první. Použijme obecný vzorec:

$Q_1 = \tfrac{a}{2b} = 24$ (s posunutým $a$), $Q_2 = \tfrac{a}{4b} = 12$.

$Q = 36$, $P = 60 - 36 = 24$, $\pi_1 = (24 - 12) \cdot 24 = 288$, $\pi_2 = 12 \cdot 12 = 144$.

Lider $Q_1 / Q_2 = 24/12 = 2$ ✓. $\pi_1 / \pi_2 = 288/144 = 2$ ✓.

10.3 Koluze — jiná čísla

$P = 60 - Q$, $MC = 12$. Společný monopol: $MR = 60 - 2Q = 12 \Rightarrow Q = 24$, $P = 36$, $\pi_{tot} = (36 - 12) \cdot 24 = 576$. Rozdělené 50/50: $\pi_1 = \pi_2 = 288$.

Pozor — koluzní zisk firmy 1 (288) je stejný jako Stackelbergovský liderův zisk. Není to náhoda, viz odvozená formule v 7.2.

10.4 Asymetrický Cournot — jiná čísla

$P = 60 - Q$, $MC_1 = 0$, $MC_2 = 24$.

Reakční křivky:

Průsečík:

$\tfrac{3}{4} Q_1 = 21 \Rightarrow Q_1 = 28$. $Q_2 = 18 - 14 = 4$. $Q = 32$, $P = 28$.

$\pi_1 = 28 \cdot 28 = 784$. $\pi_2 = (28 - 24) \cdot 4 = 16$.

Levnější firma drží lvi podíl, drahá firma marginalizovaná. Stejný princip jako v sekci 6.

11. Limity modelu a extenze

Statická hra. Cournot i Stackelberg jsou jednorázová rozhodnutí. Reálné trhy jsou opakované — firmy hrají stejnou hru každé období. Repeated game opens dveře ke koluzi (folk theorem, trigger strategies, tit-for-tat), aniž by formální kartelová dohoda byla nutná.

Plná informace. Předpokládáme, že firmy znají poptávku i náklady konkurenta. V realitě je to neúplná informace — vede k Bayesovským hrám a signaling.

Konstantní (nebo známé) MC. V praxi se MC mění s technologií, kapacitou, cenami vstupů. Heterogenita MC mění rovnovážné výsledky (sekce 6).

Homogenní produkt. Diferenciace mění hru — poptávka pro firmu 1 závisí na ceně firmy 2 jen částečně. Hotelling-style modely zachycují prostorovou diferenciaci.

Konkurence přes množství vs. cenu. V některých trzích (komodity, kapacitně omezené odvětví) je $Q$ přirozenou volbou; v jiných (maloobchod, software) je to $P$. Bertrand (volba ceny) dává radikálně jiné výsledky než Cournot — viz Bertrand.

Vstup nových firem. Cournot/Stackelberg modelují $n=2$. Pro $n \to \infty$ se Cournotova rovnováha blíží dokonalé konkurenci ($P \to MC$). Bariéry vstupu jsou důvod, proč $n$ zůstává nízké.

12. Vztah ke zkoušce

V testech ImeK i MikK se objevují tyto typy úloh:

1. Numerický symetrický Cournot. Dáno $P = a - bQ$, $MC$, spočítej $Q_i$, $P$, $\pi_i$. Postup: napiš $TR_i$, derivuj, dostaneš reakční křivku, dosaď symetrii.
2. Numerický Stackelberg. Stejná data, ale firma 1 jde první. Postup: spočítej followerovu reakční křivku (klasický Cournotův odvod), dosaď do $TR_1$, derivuj $TR_1$ podle $Q_1$.
3. Koluze a srovnání. Spočítej monopolní zisk pro celý trh, ukáž, že je vyšší než $2 \cdot \pi^{Cournot}$, vysvětli nestabilitu kartelu.
4. Asymetrický Cournot. S různými MC nebo nákladovými funkcemi. Buď přes reakční křivky (sekce 10.4), nebo přes heuristiku $MC_1 = MC_2 = MR$ v případě monotónně rostoucích MC (sekce 6).
5. Konceptuální otázky. Proč first-mover advantage? Proč nestabilita koluze? Proč Cournotova rovnováha v $n \to \infty$ konverguje k DK?

V přípravě je rozumné mít vzorce z tabulky 7.1 nazpaměť pro $MC = 0$, a umět je rychle adjustovat na nenulové $MC$ tím, že se pracuje s „efektivním" $\tilde a = a - MC$ a $\tilde P = P - MC$.

13. Cross-reference

• Mikroekonomie 2 (mikK) — kurz, do kterého toto téma patří
• Bertrand — cenová konkurence v duopolu
• Cenové vůdcovství a kartely
• Zalomená poptávková křivka (Sweezy)
• Vězňovo dilema a teorie her — Nashův koncept
• Monopol s více závody / cenovou diskriminací — analogie s heuristikou $MC_1 = MC_2 = MR$
• Monopolistická konkurence — sousední tržní struktura s velkým $n$
• Srovnání modelů oligopolu — agregátní přehled
• Přehled vzorců MikK — souhrnná stránka pro zkoušku
• Vzorové zkoušky MikK